Mini Cursillo de Fisica I

1. Coordenadas Generalizadas

Uno de los conceptos principales de la mecanica es una particula. Con esto, nos referimos a los cuerpos cuyas dimensiones pueden ser despreciadas al describir su movimiento. Esta posibilidad depende del tipo de problema al que nos enfrentemos: por ejemplo, un planeta en cuanto a su traslacion puede considerarse como un punto, mas no en cuanto a su rotacion. La posicion de esta particula en el espacio se determina con un radio vector, que en el caso de co-ordenadas cartesianas se determina con x,y,z. Llamamos velocidad a la derivada de este radio vector con respecto al tiempo; y aceleracion a la segunda derivada con respecto al tiempo. Se suele considerar a las derivadas como puntos por encima del vector que se esta diferenciando. Asi, la tercera derivada de un vector, por ejemplo, seria la letra asignada a ese vector con tres puntos encima.

Si tenemos un sistema de N particulas, necesitamos N radios vectores, i.e. 3N co-ordenadas cartesianas. Llamamos grados de libertad a todas las cantidades que necesitamos para describir la posicion de un sistema. Ahora, no necesariamente tienen que ser cartesianas, sino que las podemos ajustar de la manera mas conveniente (polares, cilindricas, etc). Si tenemos "s" grados de libertad, entonces tenemos s cantidades q1, q2, q3, ..., qs que determinan al sistema, y llamamos a estas co-ordenadas generalizadas . Si derivamos a cada una con respecto al tiempo, tenemos las velocidades generalizadas. Es importante notar que con tener solamente las co-ordenadas generalizadas, no podemos especificar que vaya a suceder con el sistema despues de un intervalo de tiempo determinado, incluyendo uno infinitesimal. Pero si tenemos las velocidades y co-ordenadas generalizadas, sabemos por experiencia que el sistema esta completamente determinado y en principio, podemos calcular el movimiento de ese sistema. Matematicamente, si tenemos todas las q y todas las dq/dt, tenemos d2q/dt2 (la aceleracion) definida unicamente (en cuanto a sus constantes de integracion, si se lo quiere ver de otra manera, en terminos de ecuaciones diferenciales resueltas).

Finalmente, llamamo Ecuaciones de Movimiento, al conjunto de las relaciones de las aceleraciones, velocidades y co-ordenadas. Estas son ecuaciones diferenciales de segundo grado, de funciones q(t), y en principio, si las integramos determinamos todas las funciones y asi, el camino que recorre el sistema.