Mini Cursillo de Fisica II

2. El principio de accion minima

La formulacion mas general de las leyes que gobiernan el movimiento de los sistemas mecanicos es el principio de accion minima o principio de Hamilton; segun el cual, todos los sistemas mecanicos estan caracterizados por una funcion definida o mas corto, agrupando las q, dq/dt y el t como L(q,dq/dt,t) ; y el movimiento del sistema es tal que se satisface cierta condicion:

Dejemos que el sistema ocupe, en instantes t1 y t2, posiciones definidas por dos conjuntos de valores de las co-ordenadas q(1) y q(2). Entonces, la condicion mencionada es, que el sistema se mueve de tal manera que la integral esa funcion L en un intervalo dt, desde t1, hasta t2, es igual a una cantidad S, y esa cantidad tiene el valor minimo posible. Llamamos a la funcion L la Lagrangiana del sistema concerniente, y a S, la Accion.



El hecho que la lagrangiana contiene solo q y dq/dt, y no derivadas de orden mas alto, expresa el restultado que se explico en el capitulo 1, que solamente las velocidades y las co-ordenadas del sistema son necesarias para determinar el movimiento subsecuente.

Ahora, tenemos que derivar las ecuaciones diferenciales que resuelven esta integral y nos dan el valor minimo. Para empezar, y hacerlo simple, supondremos que solo hay un grado de libertad, asi que solamente vamos a determinar una funcion q(t). Supongamos que tenemos esa funcion q(t) que resuelve nuestra condicion (que S sea minimo). Esto significa que S incrementa cuando q(t) aumenta en un diferencial de q(t), donde este diferencial es minuscula en cualquier parte del intervalo de tiempo entre t1 y t2. Llamamos a este diferencial, la variacion de la funcion q(t). Como es logico, en los instantes t1 y t2, la funcion toma los valores q(t1) y q(t2) (si tuvieramos mas grados de libertad, estariamos hablando de los conjuntos q(1) y q(2) que mencionamos), y en consecuencia, la variacion de q(t), tanto en t1 como en t2 es cero.

El siguiente paso es encontrar el cambio en S cuando a q(t) se le reemplaza por q(t) + la variacion. Eso se logra restando las integrales de la lagrangiana con la variacion, menos la lagrangiana sin la variacion. Cuando hacemos la expansion en potencias del diferencial de q y el diferencial de dq/dt en el integrando, los terminos significativos seran los de primer orden. La condicion necesaria para que S tena un minimo (o en general, un extremo) es que estos terminos (que se conocen como la primera variacion de la integral) sean cero. Podemos resumir entonces, en que la variacion de S debe ser cero, haciendo que la variacion de la lagrangiana, dentro de la integral, nos de cero. Hay ciertos pasos matematicos que son necesarios en este analisis, y para los que quieran enterarse de todos los detalles, les he incluido un anexo en Este link. En todo caso, en principio, lo que se hace es efectuar la variacion (diferencial total) y luego integrar el segundo termino que nos queda, por partes. Esto nos lleva a considerar una serie de terminos que deben ser iguales a cero para que se cumpla nuestra condicion, y son:



A estas ecuaciones se les conoce como las Ecuaciones de Lagrange en mecanica (En otros lados, la llaman ecuaciones de Euler-Lagrange, debido a que en el calculo de variaciones, se conocen como Ecuaciones de Euler a las que determinan el extremo de integrales de la forma de S). Cuando el sistema tiene mas de un grado de libertad, se usan los conjuntos de co-ordenadas y velocidades uno por uno con las ecuaciones de Lagrange. Estas son las ecuaciones diferenciales que necesitabamos para cumplir la condicion, el principio de Hamilton: Si sabemos cual es la lagrangiana, sabemos cuales son las ecuaciones de movimiento del sistema.

Matematicamente, estas son un conjunto de s ecuaciones diferenciales de segundo orden, con s funciones incognitas. La solucion general de ellas, tiene 2s constantes arbitrarias. Para encontrarlas, es necesario establecer las condiciones iniciales, o en definitiva, cualquier instante de tiempo.

Supongamos que tenemos un sistema mecanico de dos partes, Ay B que si estuvieran por su lado, tendrian lagrangianas La y Lb. Entonces en el limite donde la distancia entre las partes es tan grande que las interacciones pueden ser despreciadas, el lagrangiano de el sistema completo tiende al valor La+Lb. Esta aditividad expresa el hecho de que las ecuaciones de movimiento de cualesquiera de las dos partes que no interactuan no puede tener cantidades que pertenezcan a la otra. Otro hecho evidente, es que si multiplicamos al langrangiano por una constante arbitraria, no cambiamos las ecuaciones de movimiento. De esto , sacamos la idea de que sistemas aislados pueden tener su lagrangiana multiplicada por diferentes constantes arbitrarias, pero como establecimos la propiedad de aditividad, solamente se admite la multiplicacion por la misma constante. La importancia de esto, corresponde a las unidades de medida que se tenga para la lagrangiana, aunque no se entrara en detalles aun.

Para finalizar, supongamos que tenemos dos lagrangianas, que difieren solamente por la derivada de funcion de las co-ordenadas y el tiempo, con respecto al tiempo: . Ahora, al calcular la accion de las dos lagrangianas, veremos que diferen en justamente la diferencia de esta funcion f, evaluada en las condiciones iniciales: . En otras palabras, difieren en una cantidad que al calcular su variacion, nos da cero. Esto quiere decir que la variacion de la accion nos dara cero, aun en el caso en el que difieran por esta derivada de f(q,t), pero no mas.