Mini Cursillo de Fisica III

3. El principio de relatividad de Galileo

Al considerar los fenomenos mecanicos, es necesario escoger un marco de referencia. Las leyes de movimiento cambian segun el que se escoja, y dependiendo de esta eleccion, las leyes que gobiernan incluso fenomenos simples se pueden volver complejas. Asi que surge de alli el problema de encontrar un marco de referencia tal que permita que las leyes de de mecanica tomen la forma mas simple. Si hubieramos de escoger uno al azar, este no habria de tener equivalencia mecanica en sus traslaciones por el espacio y por el tiempo. Para ello, buscaremos un marco de referencia en el cual el espacio siempre sea homogeneo (aquel que tiene una invariancia en la traslacion) e isotropico (que tiene las mismas caracteristicas en diferentes direcciones); y que a su vez, el tiempo tambien sea homogeneo. Llamamos a un marco de este tipo un marco inercial. En este tipo de marco, un cuerpo libre (aquel que no esta sujeto a una accion externa) que aparezca en reposo, siempre se mantendra asi.

Ahora, encontraremos inferencias con respecto a la forma de la lagrangiana de una particula, que se mueve libremente en el marco inercial de referencia. La homogeneidad del espacio y el tiempo implica que la lagrangiana no puede estar en funcion de su radio vector, ni del tiempo, i.e. L debe ser funcion de v. Pero tambien, debido a que el espacio es isotropico, la lagrangiana no puede ser dependiente de la direccion del vector velocidad. Por lo tanto, podemos asegurar que es una funcion de la magnitud:



Tambien, dado que la Lagrangiana es independiente del radio vector, tenemos que la derivada parcial de L con respecto a r debe ser cero, y, usando este hecho en la ecuacion de Lagrange, tenemos:



De donde vemos que esta derivada parcial de L con respecto a v debe ser constante y, dado que L es solo una funcion de la velocidad, concluimos que v es constante. Concluimos asi que en un marco inercial, la velocidad de un cuerpo libre es constante en magnitud y direccion. Esta se conoce como la ley de la inercia. Ademas, si considerasemos un marco de referencia que se mueve uniformemente en linea recta relativa al marco inercial, encontrariamos que las leyes del movimiento son las mismas para este marco: el movimiento libre se lleva a cabo con velocidad constante.

La experimentacion nos muestra que no son solo las leyes del movimiento libre iguales en los dos marcos, sino que estos marcos son mecanicamente equivalentes en todos los aspectos. En otras palabras, podemos considerar una infinidad de marcos inerciales moviendose relativamente el uno al otro, manteniendo equivalencia mecanica. Este es el principio de relavidad de Galileo, uno de los mas importantes principios de la mecanica. Otra consencuencia de esta consideracion es que no exista un marco de referencia absoluto que pudieramos preferir sobre otros. Supongamos de nuevo que tengo dos marcos inerciales, K y K', que me ofrecen co-ordenadas (radios vectores) r y r' para un punto, donde el primer marco se mueve con velocidad V. La relacion entre las co-ordenadas es:



Donde se sobre-entiende que el tiempo es el mismo en los dos marcos, suposicion que es un pilar de la mecanica clasica (y como bien sabemos, no queda muy bien parada en mecanica relativista). La transformacion que se escribio arriba seria entonces una transformacion Galileana. Basicamente, es la expresión matemática de la equivalencia entre dos marcos inerciales.